第0章 复习与引申

0-1 矩阵的代数运算

相似

矩阵相似 :可以通过初等行/列变换转换

  • 约当型: 与原矩阵相似的简单矩阵
  • 范数:用于刻划矩阵大小,的差
  • 广义逆矩阵: 对方程
    1. 可逆,则
    2. 不可逆,则 ,其中为广义逆矩阵

矩阵乘法中的 非零零因子,但 ,则 为左零因子, 为右零因子

常见的类对角矩阵:

可交换

可交换

数量矩阵,其中 为实数, 为单位阵

  • 若A与任意同阶矩阵可交换,则A为数量矩阵

矩阵的乘法交换律不成立,乘法消去律也不成立,但乘法分配律成立

当矩阵AB=BA时,二项式定理成立

分块矩阵

分块矩阵 :将A、B两矩阵分块:

在A的列的分法与B的行的分法相一致时,矩阵 也可以写成分块矩阵:

:矩阵内最多呈线性无关的列向量数

,则

可由 线性表示,则

0-2 线性方程组

设方程组 ,则有

  1. 有解
  2. ,则有唯一解
  3. ,则通解中有 个自由未知量

基础解系

基础解系:若 满足:

  1. 的解
  2. 线性无关
  3. 的任一解都可被其线性表示 则其为 的基础解系

对于齐次线性方程组 ,有

  1. 有非零解 (系数矩阵的秩小于未知量个数)
  2. ,则其基础解系中含 个解向量
  3. ,则其任意 个线性无关的解向量是其基础解系

阶梯形矩阵

满足下述条件的矩阵称为阶梯形矩阵:

  1. 元素全为零的行均在矩阵的下方
  2. 非零首元所在列的下标随着行标的增大而严格增大

满足下述条件的阶梯形矩阵称为简化阶梯形矩阵:

  1. 各个非零行的非零首元均为 1
  2. 除了非零首元外,非零首元所在的列其余元素都为零

Gauss 消元法

  1. 用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵
  2. 确定自由未知量:
    1. 找每行的非零首元
    2. 找对应未知量
  3. 通过回代法用自由未知量表示2.2中的未知量(此步可借助简化阶梯形矩阵)

共轭转置 ,即先复数上的共轭,再转置

==矩阵的秩 等于==:

  • 其非零子式的最高阶数
  • 或等于其行/列向量的的秩
  • 或以 为基础解系的齐次线性方程组的解的秩

线性⽅程组恒有解 系数矩阵的秩 = 增广矩阵的秩

若阶梯矩阵有全零行,则有无穷多个解

0-3 向量

极大线性无关组

设向量组 的部分组 满足

  1. 线性无关(可用列方程表示)

  2. 中每个向量均可由 线性表示,则称 的一个极大无关组

  3. 若一向量组的极大无关组中含 个向量,则称这个向量组的秩为

  4. 若向量组的秩为 ,则该向量组中任意 个线性无关的向量均为其极大无关组

判断是否线性相关:

  • 若有非零解,则线性相关
  • 若仅有全零解,则线性无关

矩阵的秩

有关秩的不等式1.

  1. ,则
  2. 对于

3 是 4 的特殊情况

初等阵:可以由单位阵经一次初等变换得到的矩阵

幂等矩阵

可逆矩阵:又称满秩矩阵,能通过初等变换得到单位阵(理由:,可知方程有唯一解,即系数矩阵相似于单位阵)

  • 可知可逆矩阵的行、列向量线性无关(初等变换后满秩)

不可逆矩阵:若 为不可逆矩阵,则必有 ,使得

  • 可知不可逆矩阵的行、列向量线性相关(初等变换后有全零行)

线性无关=可逆,线性相关=不可逆

满秩分解:对于 的矩阵 ,取 的矩阵 的矩阵 ,使得 ,其中

  • 可取 的极大线性无关组, 则为各列用极大线性无关组表示时的对应系数