1-1 线性空间

1-1-1 线性空间的定义

线性空间是由下述三个要素确定的代数系统:

  1. 一个数域 ,一个非空集合 中的元素也称为向量);
  2. 两个运算:加法:;数乘:
  3. 上述运算满足如下八个公理:其实只需加法、乘法封闭
    • 加法交换律:,有
    • 加法结合律:,有
    • 零元存在性:存在 ,使得,有
    • 负元存在性:,存在 ,使得
    • 幺等律:
    • 数乘结合律:,都有
    • 分配律:,有
    • 分配律:,都有

1-1-2 线性空间的例子

  1. 数域 上所有 维向量全体,按向量的加法和数乘,构成一个线性空间,记为
  2. 数域 上所有 矩阵全体,按矩阵的加法和数乘,构成一个线性空间.记为
  3. 数域 上所有一元多项式全体,按多项式的加法和数乘,构成一个线性空间.记为
  4. 数域 上所有次数小于n的一元多项式全体,按多项式的加法和数乘,构成一个线性空间,记为

1-1-3 线性空间的性质

是数域上的线性空间,,则:

  1. V中的零向量是唯一的.通常记为
  2. V中任一向量的负向量是唯一的.通常记为
  3. 加法消去律:若,则
  4. 向量方程的解:有唯一解,记为
  5. ,特别地,
  6. ,当且仅当

1-2 基和维数

1-2-1 线性相关性

,若存在不全为零的数 使得,则称向量组线性相关。否则,称线性无关

  • 相关:能表示
  • 无关:不能表示

重要性质

  1. 若s≥2,则线性相关当且仅当存在向量 ,使得可由其余向量线性表示
  2. 线性无关,但线性相关,则可由线性表示,而且,线性表示的方法是唯一的.
  3. 可由线性表示,则线性相关

可由线性表示,且线性无关,则t≤s

等价,且都线性无关,则

等价:两向量组可相互线性表示 线性空间中的向量仅代表元素,因此向量也可以是矩阵

1-2-2 基、维数和坐标

定义: 若 满足条件:

  1. 线性无关
  2. 任意的 均可由 线性表示 则称 是 V 的一组基

维数

  1. 的某一组基中含个向量,则的任一组基中都含个向量,称的维数,记为
  2. ,则中任意个向量线性相关
  3. 线性空间的基不一定存在,
    • 如:只含一个零向量的空间称为零空间,规定零子空间的维数为.
    • 再如:规定

定理:若 ,则 V 中任意 个线性无关的向量均构成 的基

坐标

定义: 设 是V的一组基,,且 ,则称 是β在基下的坐标,或是β在基下的坐标(列向量)

性质:

  1. 线性空间的基是有序的
  2. 基相当于几何空间中的坐标系

定理: 假设, 在基下的坐标分别是,则

  1. 线性相关线性相关.

的秩:

  1. :线性无关
  2. :线性相关 即其阶梯矩阵非零行的数量

1-2-3 基变换和坐标变换

形式记号

,定义形式行向量。 比如,若 是β在基下的坐标, 则可形式地记成。 若可由线性表示, 于是,我们可以找到一个s×t矩阵A使得

性质: 若

过渡矩阵

定义: 设 都是V的基,且 则称A是从基到基的过渡矩阵

过渡矩阵是右乘的!且顺序是反的!例如:若 则知为从基到基的过渡矩阵 但下应为

性质

  1. 过渡矩阵一定是可逆的
  2. 若从基到基的过渡矩阵是A,则从基到基的过渡矩阵是.
  3. 若从基到基的过渡矩阵是A,从基到基的过渡矩阵是B,则从基到基的过渡矩阵是.

坐标变换公式

在基下的坐标是X,在基下的坐标是Y,而从基到基的过渡矩阵是,==则,或==

1-3 子空间

1-3-1 子空间的定义

设 V 是数域 F 上的线性空间, W 是 V 的非空子集。若 W 关于 V 的运算也构成 F 上的线性空间,则称 W 是 V 的子空间.记

W的运算与V中的运算应当相同

1-3-2 充分必要条件

,则 的子空间 关于线性运算封闭

1-3-3 重要子空间

  1. ,称 V 是齐次线性方程组 的解空间.(基础解系是 V 的一组基,维数是 。)
  2. 上的线性空间,,集合 称 W 是由 生成的子空间 称 是W的生成元。记

性质

  1. ,则
  2. 等价
  3. 的极大无关组是 的基,故

1-3-4 基扩充定理

有限维线性空间 V 中任意线性无关向量组均可扩充成 V 的基

:仅有第 i 行第 j 列为 1,其它元素为 0 的方阵

1-4 子空间的交与和

并集并不是子空间

1-4-1 交与和的定义

定义 分别称为子空间的交与和

定理 都是 V 的子空间.

1-4-2 维数定理

定理: 若

维数定理: 假设,有

1-4-3 直和

定义,若唯一的 ,使得 , 则称 是直和,记为

定理,则下述条件是等价的:

  1. 直和
  2. 的表示方式是唯一的
  3. 的基合在一起就是的基

多个子空间的直和: 设 ,若 唯一的,使得, 则称 是直和,记为 .

定理: 设,则下述条件是等价的:

  1. 直和
  2. 的表示方式是唯一的
  3. 的基合在一起就是的基

1-5 线性映射

1-5-1 映射的概念

定义: 设 S 和 T 是两个集合, 是一个法则,使得对 中每个元素 , 在 T 中必存在唯一的元素 y 与之对应,则称 是 S 到 T 的映射, 记为 如果,则称 y 为 x 的象,x 为 y 的原象 S在映射 下的全体象记为 ,称为 的值域 集合S到自身的映射 称为S上的变换 集合S到自身的映射 称为S上的恒等变换

定义: 设映射 ,若 .则称 是满射 若由 必能推得 ,则称 是单射 若 既是满射又是单射,则称 是双射

定理 是双射 是可逆映射 (即,存在映射,使得,fg=I_T)

线性映射设 V,U 是数域 F 上的线性空间,若映射满足条件:

  1. 齐性
  2. 可加性

则称 是从 V 到 U 的线性映射, 从 V 到 U 的线性映射全体记为 V 到 V 自身的线性映射称为 V 上的线性变换

假设是线性映射.则:

  1. 线性相关,则 线性相关
  2. ,则 的值域
  3. 是 V 的子空间,称为 的核空间,也记作

线性变换的运算

假设 ,定义 如下:

  1. 容易记错!不满足交换律 容易验证,以上运算的结果仍然都是线性映射

是线性变换

性质: 设 。则:

1-5-2 基下的矩阵

,选定基偶: 则称 A 是 在选定基偶下的矩阵 特别如果 ,且 则称 A 是线性变换 在所选基下的矩阵.

定理: 若在基偶 下的矩阵是 的坐标是 , 则 在基 下的坐标是 .

定理: 设 在选定基偶: 的一组基 到 基 的过渡矩阵是 的一组基到 基 \eta_1,\eta_2,\dots,\ets_s 的过渡矩阵是, 若在基偶 下矩阵为A,在基偶 下矩阵为 , 则 特别是,若 在基 下的矩阵是 , 则 在新的基 下的矩阵 是

可知 A 与 B 相似,也就是说同一线性变换在不同的基偶下是相似的

定理: 假设 在 V 的基 下的矩阵分别 是A,B,设 ,则在基 下,

  1. 的矩阵是
  2. 的矩阵是
  3. 的矩阵是
  4. 可逆 矩阵 可逆,并且, 的矩阵是

1-5-3 值域和核

假设 ,则

  • 是满射。若 ,则
  • 是单射

值域的计算

在基偶 下的矩阵是 A,即 由于 的极大无关组是 的基 特别地,

1-5-4 核子空间的计算

在基偶 下的矩阵是 A, 的坐标是 X,则 在基下的坐标是 。因此, 从而,若 的基础解系, 是以 为坐标的 中的向量,则 的基

维数定理: 假设 ,则

推论: 设 ,则 可逆 是单射 是满射

对无限维空间,推论不成立

1-5-5 不变子空间

,若 ,有 ,则称 W 是 的不变子空间