2-1 内积空间的概念

内积就是点乘

2-1-1 内积空间的定义

假设 V 是数域 F上的线性空间,在 V 上定义了一个二元函数 ,若

  1. ;且等号成立当且仅当 则称 的内积。
  • 定义了内积的线性空间称为内积空间
  • 时,称 V 是欧基里德空间,简称欧氏空间
  • 时,称 V 是酉空间

欧基里德空间和酉空间统称为内积空间

迹(trace):主对角线元素之和,也是特征值之和

标准内积

  1. 在空间 上定义内积 ,则 是欧氏空间
  2. 在空间 上定义内积 ,则 是酉空间

2-1-2 内积空间的性质

  1. 对任意

度量矩阵

是 V 的基, 的坐标是 其中,,称 A 是 V 在基 下的度量矩阵

  • ,则度量矩阵是对称矩阵:
  • ,则度量矩阵是Hermite矩阵:

度量矩阵须为正定阵

2-1-3 模与正交性

定义: 设 的模(长度)定义为 ,若,则称 α 是单位向量。

性质

  1. ,且
  2. 故若 ,则称 是单位向量

柯西不等式,当且仅当 线性相关时等号成立,即两者平行

可以从夹角公式 推出柯西不等式

  • 线性相关:向量组不全两两正交。若只有两个向量,则两者平行
  • 线性无关:向量组两两正交

三角不等式

向量距离

三角不等式的距离形式

正交性:若向量 的内积为零,则称 是正交的,记

勾股定理:若 ,则

  • 由两两正交的非零向量组成的向量组称为正交向量组
  • 由两两正交的单位向量组成的向量组称为标准正交向量组
  • 由正交向量组组成的基称为是正交基
  • 由标准正交向量组组成的基称为是标准正交基

标准正交基下的内积

是 V 的标准正交基, 下的坐标是 X,Y 则

2-1-4 Schmidt 正交化方法

是线性无关的,

  1. 正交化:
  2. 单位化: 是与 等价的标准正交向量组

推导:

2-1-5 酉矩阵

定义: 若 n 阶复矩阵 A 满足 ,则称为酉矩阵

A 是酉矩阵的行/列向量组是 的标准正交基

定理: 设 是 V 的标准正交基, 是标准正交基 是酉矩阵.

Schmidt正交化方法的应用

====

  1. 若 A,B 是同阶酉矩阵,==则 都是酉矩阵==
  2. 假设 A 是上(下)三角矩阵,若 A 是酉矩阵,则 A 是对角阵,且其主对角元的模均等于1.

如果 是 V 的基,则有标准正交基 使 其中,T是上三角矩阵,且其主对角元均大于零

2-1-6 基扩充

基扩充定理

假设 W 是 V 的子空间, 是 W 的标准正交基,则 存在 使 得 是 V 的标准正交基。

2-2 正交补空间

正交性: 设 ,若 ,称 ,对,称

定理,则

2-2-1 正交补空间

定义: 设 ,记 易证这是 V 的子空间,称是 W 在 V 中的正交补空间

定理: 设 ,则 而且,若 ,且 ,则 .

推论: 若 ,则

2-2-2

定理

2-2-3 正投影

已知 ,若 满足 则称 在 W 中的正投影

定理: 假设 ,则

  1. 在 W 中的正投影存在,则正投影必定是唯一的;
  2. 在 W 中的正投影当且仅当

定理: 如果 是有限维的,则任意 在 W 中的正投影必定存在

2-2-4 应用

最小二乘解: 设 ,线性方程组 的最佳近似解 为 的解

2-3 等距变换

定义: 设 V 是内积空间,,若 是等距变换 若 ,称 是正交变换 若 ,称 是酉变换

充要条件: 设 V 是内积空间,,下述条件等价:

  1. 保持长度不变
  2. 保持内积不变
  3. 将标准正交基变为标准正交基
  4. 在标准正交基下的矩阵是酉矩阵

镜像变换

假设 V 是一个欧氏空间, 是一个单位向量,映射 则是 V 上的等距变换(正交变换)