3-1 特征值与特征向量

3-1-1 定义和计算

矩阵的特征值与特征向量

定义: 假设 A 是 n 阶方阵, 是数,若存在 n 维列向量 ,使得 ,且 则称 是 A 的特征值, 是 A 的属于特征值 的特征向量。

定理: 假设 A 是 n 阶方阵,则 A 相似于对角阵的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量特征向量。

线性变换的特征值与特征向量

定义: 设 是线性空间上的线性变换,假设 , 若存在使得 ,且 则称 是线性变换 的特征值, 是相应于 的特征向量。

线性变换的可对角化问题: 设 V 是 n 维线性空间, 是线性空间 V 上的线性变换, 则存在 V 的基使得 的矩阵是对角阵当且仅当 有个线性无关的特征向量。

线性变换的特征值、特征向量的计算

在 V 的基 下的矩阵是 A 若 在基 下的坐标是 , 则 在基 下的坐标是 ,故 即: 的属于特征值 的特征向量当且仅当 是 A 的属于特征值 的特征向量。

行列式: 取行列式某一行/列,对该列的每个元素求其代数余子式,并与该元素相乘,最后将所有乘积相加

代数余子式: 把元素 所在的第 行和第 列划去,得到余子式 即为代数余子式

的行列式 的行列式的平方

定理: 若 是相似的,则

注意:

  1. 定理的逆命题不成立
  2. 可定义线性变换的特征多项式

3-1-2 特征多项式

特征多项式的计算

定义: 假设矩阵 ,则 A 的第 行, 第 列交叉处的元素构成的 k 阶子式称为 A 的 k 阶主子式

Cauchy-Binet公式

定理: 设 ,则 其中, 为 A 的所有 j 阶主子式之和,特别地

矩阵的迹

定义: 设 ,称 为 A 的迹,记为

  1. 的特征值为 ,则
  2. 相似,则 r(A)\leq m\Rightarrow AABBAtr(AB)tr(BA)

化零多项式

引理: 设 f(x)f(A)=0f(x)=0f(x) 为 A 的化零多项式

3-1-3 Hamilton-Cayley 定理

Schur 引理: 对 \forall A\in C^{n\times n}U^HAUA\in F^{n\times n},C(\lambda)=|\lambda I-A|C(A)=Of\in Hom(V,V),C(\lambda)fC(f)=O。

3-1-4 最小多项式

矩阵的最小多项式

根据 Hamilton-Cayley 定理,一定存在最小多项式

定义: 矩阵 A 的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式称为 A 的最小多项式

性质

  1. 若 m(x),\phi(x)m(x)|\phi(x)A,BA,B 有相同的最小多项式

线性变换的最小多项式

定义: 设线性变换 f\in VA,AfffC(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{C_1}\dots(\lambda-\lambda_s)^{C_s}m(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{t_1}\dots(\lambda-\lambda_s)^{t_s}1\leq t_j\leq C_jm(x),C(x)m(x)|C(x)\lambda_0\in C,m(\lambda_0)=0\Leftrightarrow C(\lambda_0)=0

3-2 可对角化问题

  1. n\times n\Leftrightarrow A\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_s\eta_{1i},\eta_{2i},\dots,\eta_{t_ii}\lambda_i 的线性无关的特征向量,则 线性无关

线性变换的可对角化问题

定理: 假设 V 是 n 维线性空间,f\in Hom(V,V)fff\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_s\eta_{1i},\eta_{2i},\dots,\eta_{t_ii}f\lambda 的线性无关的特征向量,则 线性无关

3-2-1 特征子空间

定义: 设 f\in Hom(V,V)\lambda_0ff\lambda_0\lambda_0fdimV_{\lambda_0}\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_sfV_{\lambda_1}+V_{\lambda_2}+\dots+V_{\lambda_s}dimV=n,f\in Hom(V,V)f 的矩阵是对角阵的充分必要条件是

3-2-2 几何重数

定理: 设 f\in Hom(V,V)C(\lambda)=\Pi_{i=1}^s(\lambda-\lambda_i)^{c_i}dimV_{\lambda_i}\leq{c_i}dimV_{\lambda_i}{c_i}f\in Hom(V,V)C(\lambda)=\Pi_{i=1}^s(\lambda-\lambda_i)^{c_i}f\forall i, dimV_{\lambda_i}=c_iV=V_{\lambda_1}\oplus V_{\lambda_2}\oplus\dots\oplus V_{\lambda_s}

3-2-3 最小多项式与可对角化

引理: 若 n 阶矩阵 M_iM_1M_2\dots M_s=O\sum_{i=1}^sr(M_i)\leq(s-1)nn\times n 矩阵 A 相似于对角阵当且仅当 A 的最小多项式无重根

对角阵的行列式等于其主对角线元素之积

3-3 若当标准形

3-3-1 Jordan 形矩阵

定义

  1. 形如 \left(\begin{array}{cccc}a& 1& & \ & a&\ddots& \& &\ddots & 1\ & & & a\end{array}\right)J=\left(\begin{array}{cccc}J_1& & & \ & J_2& & \& &\ddots & \ & & & J_s\end{array}\right)J_i 均为 Jordan 块)的矩阵称为 Jordan 形矩阵

3-3-2 Jordan 标准形

对角阵是一种若当形矩阵

定义: 若 JAJJA 的若当标准形

3-3-3 唯一性

若 J=\left(\begin{array}{cccc}J_1& & & \ & J_2& & \& &\ddots & \ & & & J_s\end{array}\right)AK=\left(\begin{array}{cccc}J_{i_1}& & & \ & J_{i_2}& & \& &\ddots & \ & & & J_{i_s}\end{array}\right)J_{i_1},J_{i_2},\dots,J_{i_s}J_1,J_2,\dots,J_s\lambda_0\lambda_0B=A-\lambda_0Ir(N^k)=\begin{cases}n-k,&k\leq n\0,&k\geq n\end{cases}N^0=IJkr(J-\lambda_0I)^{k-1}-2r(J-\lambda_0I)k+r(J-\lambda_0I)^{k+1}r(A-I)=r(J-I)

Jordan标准形与最小多项式

定理: 若 M=\begin{array}{cc}A & O \ \hline O & B\end{array}M,A,Bm_M(\lambda)=[m_A(\lambda),m_B(\lambda)]m(\lambda)=\Pi_{i=1}^s(\lambda-\lambda_i)^{r_i}r_i\lambda_i\Leftrightarrow A 的最小多项式无重根

相似矩阵有相同的迹,相同的秩

3-4 特征值的分布

3-4-1 谱半径和盖尔圆

定义: 设 A=(a_{ij}){n\times n}\rho(A)