4-1 H 阵和正规阵

4-1-1 Hermite二次型与H阵

定义: 设 ,若有 ,则称矩阵为 Hermite 矩阵,简称为H阵,这时的 称为是 Hermite 二次型。

H 阵主对角线一定都是实数

4-1-2 H 阵的性质

实对称矩阵的性质

  1. 实对称矩阵的特征值都是实数
  2. 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交
  3. 对任意实对称矩阵 ,存在正交矩阵 ,使得 是对角阵

H阵的性质

  1. H 阵的特征值均是实数
  2. H 阵的属于不同特征值的特征向量相互正交
  3. 若 A 是 H 阵,则必存在酉矩阵 U,使得 是对角阵

可知

4-1-3 正规阵

定义: 设 ,若 ,则称 A 是正规阵

H阵,酉矩阵,反H阵均是正规阵

定理: 若 A 既是上三角的,又是正规的,则 A 必是对角阵

定理 是正规阵 酉相似于对角阵

定理 是正规阵 有 n 个两两正交的单位特征向量

幂等阵的特征值非 0 即 1

4-2 标准形

4-2-1 共轭合同关系

可逆线性变换

若 A,B 都是 H 阵,且对 ,则

是可逆矩阵, 若在 下,,则

定义: 设 A,B 是 H 阵,若有可逆阵 C,使得 ,则称 A 与 B 是共轭合同的

共轭合同关系满足:反身性,对称性,传递性

4-2-2 Hermite二次型的标准形

标准形

定义: 假设 Hermite 二次型 在可逆线性变换下 变成只含“平方”项的形式 则称 的标准型

标准形的计算:

  1. 配方法(初等变换法)
  2. 酉变换法

4-2-3 酉变换下的标准形

假设 Hermite 二次型 ,A 是相应的 Hermite 矩阵,酉矩阵 U 满足 ,则

4-3 惯性定理

4-3-1 Hermite二次型的惯性定理

唯一性

定理: 若 在可逆线性变换 下变成标准形 在可逆线性变换 下变成标准形: 其中, 均大于零。则

定义: Hermite 二次型标准形中的正项个数称为其正惯性指数,负项个数称为其负惯性指数

两者之和为秩

4-3-2 关于 H 阵的惯性定理规范形

贯性定理的矩阵形式

若 H 阵 A 与 共轭合同,则 中正、负项个数相同

定义: 与 H 阵 A 共轭合同的对角阵中的正项个数称为 A 的正惯性指数,负项个数称为 A 的负惯性指数

4-3-3 规范形

如果 Hermite 矩阵 A 的正、负惯性指数分别是 , 则 A 必定与矩阵 共轭合同。称此矩阵为A的规范形

定理矩阵 A,B 共合同 有相同的正、负惯性指数 相同的秩和正惯性指数

4-4 有定性

4-4-1 正定性

定义: 设 阵,,若对 , 则称 是正定的, 是正定的

如何建立判别方法:

  1. 则D是正定的
  2. 若 H 阵 A,B 共轭合同,则 A 正定 正定
  3. 若 H 阵 A 与 共轭合同,则 A 正定

正定的充要条件

定理: 设 A 是 阵,则下述条件等价:

  1. A 是正定的
  2. A 的特征值均大于零
  3. A 与 I 共轭合同
  4. 存在可逆阵 P 使得
  5. A 的各顺序主子式均大于零

正定阵隐含为 Hermite 阵

4-4-2 其它有定性

定义: 设 A 是 H 阵,

  1. 若对 ,则称 是负定的, 是负定的 H 阵
  2. 若对 ,则称 是半正定的, 是半正定的 H 阵
  3. 若对 ,则称 是半负定的, 是半负定的 H 阵

负定 正定

负定 正定 的偶数阶顺序主子式 > 0 的奇数阶顺序主子式 < 0

正定矩阵与半正定矩阵的和一定是正定矩阵

如何建立判别方法:

  1. 则D是半正定的
  2. 若 H 阵 A,B 共轭合同,则 A 半正定 半正定
  3. 若 H 阵 A 与 共轭合同,则 A 半正定

半正定的充要条件

定理: 设 A 是 阵,则下述条件等价:

  1. A是半正定的
  2. A的特征值均大于或等于零
  3. A 与 共轭合同;
  4. 存在矩阵 P 使得
  5. A的各主子式均大于或等于零

4-5 Rayleigh商

4-5-1 Rayleigh商

设 A 是 n 阶 H 阵,则 \forall X\in C^n,X^HAX\inR,于是,可以定义一复变量的实值函数 称此函数为 A 的 Rayleigh 商

4-5-2 第一定理

假设 H 阵 ,A 的特征值 ,则

酉矩阵为正规阵