5-1 向量范数

5-1-1 定义

是数域 上线性空间, 是定义在 上的实值函数。如果 满足:

  1. 对任意 (恒正性)
  2. 对任意 (齐性)
  3. 对任意 (三角不等式) 则称 上的范数。 定义了范数的线性空间称为赋范线性空间

5-1-2 长度与范数

是内积空间,则 上内积下的长度 上的一个范数

因此,从现在起,在不致于引起混淆的情况下,任意线性空间上的范数就记为

5-1-3 中的范数

对任意

  1. 向量 1-范数:
  2. 向量 2-范数:
  3. 向量 范数:

中更多的范数对任意

  1. 时,有向量 p-范数:
  2. 如果 是已知的范数,A 是一可逆矩阵向量,则 也是 上的一种范数

5-1-4 V上的范数

是数域 维线性空间, 是V的一组 基, 上已知的范数,据此可以定义 上的范数: 若 在基 下的坐标是 ,规定

5-1-5 序列的收敛性

向量序列的收敛性

是 V 上的范数, 是 V 中的一个向量序列,。如果 则称向量序列 在范数 下收敛到 ,记为

范数的可比较性

假设 都是线性空间 上的范数。若存在大于零的数 , 使得对任意 ,不等式 成立, 则称 上的范数 是可比较的

定理: 有限维线性空间 V 上任意两个范数都是可比较的

5-2 矩阵范数

5-2-1 矩阵 p 范数

矩阵p-范数: 设矩阵 ,则有下列矩阵范数: 又记为 ,称为 Frobenius 范数,简称 F 范数

性质: F 范数是酉不变的:若 U,V 是酉矩阵,则

5-2-2 相容性

定义: 设 中定义了范数 , 若对 则称范数 是相容的

定理 是相容的, 是不相容的

5-2-3 算子范数

分别是 上的范数,定义 上的实值函数 称是由 是由 诱导的算子范数

定理: 算子范数一定是相容的矩阵范数

5-2-4三个重要的算子范数

诱导的 A 的算子范数分别被称为 A 的算子 1-范数,算子 2-范数,算子 范数,分别记为

定理: 设 ,则 ,列模和范数 ,谱范数 ,行模和范数

5-3 收敛定理

5-3-1 矩阵序列的收敛性

定义: 设矩阵序列 , 如果 ,且 , 则称

可以证明:若 是一矩阵范数,则

5-3-2 幂序列

对给定的方阵 A ,考虑方阵序列

定理: 若有相容矩阵范数 ,使得 ,则

定理

5-3-3 谱半径

定理: 若 是相容矩阵范数,则

定理: 对任意矩阵 ,若 ,则一定存在 上相容矩阵 范数 ,使得

5-3-4 矩阵幂级数

设 A 是方阵,对于幂级数 若矩阵序列 收敛于矩阵 M,则称矩阵幂级数 收敛于 M

定理: 若幂级数 的收敛半径为 ,则

  • 时,矩阵幂级数 收敛
  • 时,矩阵幂级数 发散

5-4 矩阵函数

5-4-1 定义

设函数 可以展开成幂级数 ,且 ,定义

几个重要的函数

5-4-2 Jordan 形矩阵

Jordan 形矩阵的函数

假设 其中

,得

Jordan 块的函数

若当块 ,则

利用Jordan 标准形计算

定理 设矩阵 A 的 Jordan 标准形是

定理 己知 矩阵 A 的特征值为 ,则 的特征 值为

5-4-3 待定系数法

设矩阵 A 的 Jordan 标准形是 其中,

定理: 若 A 的最小多项式为 ,则 对每个特征值

性质

定理: 设 零矩阵,则

  1. ,则