第七章 随机变量的变换

7-2 有限维随机变量间的变换

定理7.2.1：设一维随机变量 X 的概率密度函数为 $f_X(x)$，$Y=g(X)$ 是单调可微函数，则 Y 的概率密度函数为 $f_Y(y)=f_X[g^{-1}(y)]|[g^{-1}(y){]}^{\prime }|$

定理7.2.4：同维变换时，若 $det(A)\ne 0$，则有 $f_Y(y)=\frac{1}{|det(A)|}{f}_X(A^{-1}(y-b))$

定理7.2.6：若 $y=g(x)$ 有一阶偏导数，则有 $$f_Y(y)=\sum _{n=1}^N{\left[f_X(x)\left|det\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)\right|\right]}_{x=x^{(n)}}$$ 其中，$x^n$ 为 $y=g(x)$ 的 N 个实根，$\partial x/\partial y$ 为下列 Jacobi 矩阵： $$\frac{\partial x}{\partial y}=\left(\begin{array}{cccc}\partial x_1/\partial y_1& \partial x_1/\partial y_2& \dots & \partial x_1/\partial y_n\\ \partial x_2/\partial y_1& \partial x_2/\partial y_2& \dots & \partial x_2/\partial y_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \partial x_n/\partial y_1& \partial x_n/\partial y_2& \dots & \partial x_n/\partial y_n\end{array}\right)$$

若 $y=g(x)$ 无解，则 $f_Y(y)=0$