4-1 H 阵和正规阵

4-1-1 Hermite二次型与H阵

定义： 设 $A\in C^{n\times n}$，若有 $A^H=A$，则称矩阵为 Hermite 矩阵，简称为H阵，这时的 $f(x)$ 称为是 Hermite 二次型。

H 阵主对角线一定都是实数

4-1-2 H 阵的性质

实对称矩阵的性质：

1. 实对称矩阵的特征值都是实数
2. 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交
3. 对任意实对称矩阵 $A$，存在正交矩阵 $Q$，使得 $Q^{T}AQ$ 是对角阵

H阵的性质

1. H 阵的特征值均是实数
2. H 阵的属于不同特征值的特征向量相互正交
3. 若 A 是 H 阵，则必存在酉矩阵 U，使得 $U^{H}AU$ 是对角阵

可知 $A\sim \Lambda$

4-1-3 正规阵

定义： 设 $A\in C^{n\times n}$，若 $A^{H}A=A{A}^H$，则称 A 是正规阵

H阵，酉矩阵，反H阵均是正规阵

定理： 若 A 既是上三角的，又是正规的，则 A 必是对角阵

定理： $A\in C^{n\times n}$ 是正规阵 $\iff A$ 酉相似于对角阵

定理： $A\in C^{n\times n}$ 是正规阵 $\iff A$ 有 n 个两两正交的单位特征向量

幂等阵的特征值非 0 即 1

4-2 标准形

4-2-1 共轭合同关系

可逆线性变换

若 A，B 都是 H 阵，且对 $\forall X\in C^n,X^{H}AX=X^{H}BX$，则 $A=B$

设 $f(X)=X^{H}AX,g(Y)=Y^{H}BY,C$ 是可逆矩阵， 若在 $X=CY$ 下，$f(x)=g(Y)$，则 $B=C^{H}AC$

定义： 设 A，B 是 H 阵，若有可逆阵 C，使得 $B=C^{H}AC$，则称 A 与 B 是共轭合同的

共轭合同关系满足：反身性，对称性，传递性

4-2-2 Hermite二次型的标准形

标准形

定义： 假设 Hermite 二次型 $f(X)$ 在可逆线性变换下 $X=CY$ 变成只含“平方”项的形式 $$\begin{array}{rl}g(Y)& =d_1{y}_1\overline{y_1}+d_2{y}_2\overline{y_2}+\cdots +d_n{y}_n\overline{y_n}\\ & =d_1|y_1{|}^2+d_2|y_2{|}^2+\cdots +d_n|y_n{|}^2\end{array}$$ 则称 $g(Y)$ 是 $f(X)$ 的标准型

标准形的计算：

1. 配方法（初等变换法）
2. 酉变换法

4-2-3 酉变换下的标准形

假设 Hermite 二次型 $f(X)=X^{H}AX$，A 是相应的 Hermite 矩阵，酉矩阵 U 满足 $$U^H==\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& & & \\ & a_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & a_n\end{array}\right)$$ 令 $X=UY$，则 $$f(X)=a_1|y_1{|}^2+a_2|y_p{|}^2+\cdots +a_n|y_n{|}^2$$

4-3 惯性定理

4-3-1 Hermite二次型的惯性定理

唯一性

定理： 若 $f(X)$ 在可逆线性变换 $X=CY$ 下变成标准形 $$g(Y)=d_1|y_1{|}^2+\cdots +d_p|y_p{|}^2-d_{p+1}|y_{p+1}{|}^2\cdots -d_r|y_r{|}^2$$ 在可逆线性变换 $X=DZ$ 下变成标准形： $$h(Y)=k_1|z_1{|}^2+\cdots +k_q|z_q{|}^2-k_{q+1}|z_{q+1}{|}^2-\cdots -k_r|z_r{|}^2$$ 其中，$d_i,k_i$ 均大于零。则 $p=q$

定义： Hermite 二次型标准形中的正项个数称为其正惯性指数，负项个数称为其负惯性指数

两者之和为秩

4-3-2 关于 H 阵的惯性定理规范形

贯性定理的矩阵形式

若 H 阵 A 与 $${\Lambda }_1=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& & & \\ & a_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & a_n\end{array}\right),{\Lambda }_2=\left(\begin{array}{cccc}{b}_1& & & \\ & b_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & b_n\end{array}\right)$$ 共轭合同，则 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 与 $b_1,b_2,\dots ,b_n$ 中正、负项个数相同

定义： 与 H 阵 A 共轭合同的对角阵中的正项个数称为 A 的正惯性指数，负项个数称为 A 的负惯性指数

4-3-3 规范形

如果 $n\times n$ Hermite 矩阵 A 的正、负惯性指数分别是 $p,q$， 则 A 必定与矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}{I}_p& O& O\\ O& -I_q& O\\ O& O& O\end{array}\right)$ 共轭合同。称此矩阵为A的规范形

定理： $n\times nHermite$矩阵 A，B 共合同$\iff A,B$ 有相同的正、负惯性指数 $\iff$ 相同的秩和正惯性指数

4-4 有定性

4-4-1 正定性

定义： 设 $A$ 是 $H$ 阵，$f(X)=X^{H}AX$，若对 $\forall X_0\ne \theta ,f(X_0)>0$， 则称 $f$ 是正定的，$A$ 是正定的 $H$ 阵

如何建立判别方法：

1. 设 $D=\left(\begin{array}{cccc}{d}_1& & & \\ & d_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & d_n\end{array}\right)$ 则D是正定的 $\iff \forall d_i>0$
2. 若 H 阵 A,B 共轭合同，则 A 正定 $\iff B$ 正定
3. 若 H 阵 A 与 $D=\left(\begin{array}{cccc}{d}_1& & & \\ & d_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & d_n\end{array}\right)$ 共轭合同，则 A 正定 $\iff \forall d_i>0$

正定的充要条件

定理： 设 A 是 $n\times nHermite$ 阵，则下述条件等价：

1. A 是正定的
2. A 的特征值均大于零
3. A 与 I 共轭合同
4. 存在可逆阵 P 使得 $A=P^{H}P$
5. A 的各顺序主子式均大于零

各主对角线元素即 A 的各一阶主子式，因此主对角线元素为正

正定阵隐含为 Hermite 阵

正定阵可逆，其逆矩阵为 $P^{-1}{P^H}^{-1}$

4-4-2 其它有定性

定义： 设 A 是 H 阵，$f(x)=X^{H}AX$

1. 若对 $\forall X_0\ne \theta ,f(X_0)<0$，则称 $f$ 是负定的，$A$ 是负定的 H 阵
2. 若对 $\forall X_0\ne \theta ,f(X_0)\ge 0$，则称 $f$ 是半正定的，$A$ 是半正定的 H 阵
3. 若对 $\forall X_0\ne \theta ,f(X_0)\le 0$，则称 $f$ 是半负定的，$A$ 是半负定的 H 阵

$f$ 负定 $\iff -f$ 正定

$A$ 负定 $\iff -A$ 正定 $\iff -A$ 的偶数阶顺序主子式 > 0$\iff -A$ 的奇数阶顺序主子式 < 0

正定矩阵与半正定矩阵的和一定是正定矩阵

如何建立判别方法：

1. 设 $D=\left(\begin{array}{cccc}{d}_1& & & \\ & d_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & d_n\end{array}\right)$ 则D是半正定的 $\iff \forall d_i\ge 0$
2. 若 H 阵 A,B 共轭合同，则 A 半正定 $\iff B$ 半正定
3. 若 H 阵 A 与 $D=\left(\begin{array}{cccc}{d}_1& & & \\ & d_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & d_n\end{array}\right)$ 共轭合同，则 A 半正定 $\iff \forall d_i\ge 0$

半正定的充要条件

定理： 设 A 是 $n\times nHermite$阵，则下述条件等价：

1. A是半正定的，即 $\forall X_0\ne \theta ,f(X_0)\ge 0$
2. A的特征值均大于或等于零
3. A 与 $\left(\begin{array}{cc}{I}_r& \\ & O\end{array}\right)$ 共轭合同；
4. 存在矩阵 P 使得 $A=P^{H}P$
5. A的各主子式均大于或等于零

4-5 Rayleigh商

4-5-1 Rayleigh商

设 A 是 n 阶 H 阵，则 $\forall X\in C^n,X^{H}AX\in R$，于是，可以定义一复变量的实值函数 $$R(X)=\frac{X^{H}AX}{X^{H}X},\forall \theta \ne X\in C^n$$ 称此函数为 A 的 Rayleigh 商

4-5-2 第一定理

假设 H 阵 $A\in C^{n\times n}$，A 的特征值 ${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdots \le {\lambda }_n$，则 $${\lambda }_1=\underset{\theta \ne X\in C^n}{\min }R(X),{\lambda }_n=\underset{\theta \ne X\in C^n}{\max }R(X)$$

酉矩阵为正规阵