1-1 线性空间

1-1-1 线性空间的定义

线性空间是由下述三个要素确定的代数系统：

1. 一个数域 $F$，一个非空集合 $V$ （$V$ 中的元素也称为向量）；
2. 两个运算：加法：$V+V\to V$；数乘：$F\times V\to V$；
3. 上述运算满足如下八个公理其实只需加法、数乘封闭
   • 加法交换律：$\forall \alpha ,\beta \in V$，有 $\alpha +\beta =\beta +\alpha$；
   • 加法结合律：$\forall \alpha ,\beta ,\gamma \in V$，有 $(\alpha +\beta )+\gamma =a+(\beta +\gamma )$；
   • 零元存在性：存在 $\theta \in V$，使得$\forall \alpha \in V$，有$\alpha +\theta =\alpha$；
   • 负元存在性：$\forall \alpha \in V$，存在 $\beta \in V$，使得 $\alpha +\beta =\theta$；
   • 幺等律：$\forall \alpha \in V$，$1\alpha =\alpha$；
   • 数乘结合律：$\forall k,l\in F,\forall \alpha \in V$，都有 $(kl)\alpha =k(l\alpha )$；
   • 分配律：$\forall k,l\in F,\alpha \in V$,有$(k+l)\alpha =k\alpha +l\alpha$；
   • 分配律：$\forall k\in F,\forall \alpha ,\beta \in V$,都有$k(\alpha +\beta )=k\alpha +k\beta$。

1-1-2 线性空间的例子

1. 数域 $F$ 上所有 $n$ 维向量全体，按向量的加法和数乘，构成一个线性空间，记为 $F^n$
2. 数域 $F$ 上所有 $m\times n$ 矩阵全体，按矩阵的加法和数乘，构成一个线性空间.记为 $F^{m\times n}$
3. 数域 $F$ 上所有一元多项式全体，按多项式的加法和数乘，构成一个线性空间.记为 $F[x]$
4. 数域 $F$ 上所有次数小于n的一元多项式全体，按多项式的加法和数乘，构成一个线性空间，记为 $Fn[x]$

1-1-3 线性空间的性质

设$V$是数域$F$上的线性空间，$\alpha ,\beta ,\gamma \in V,k\in K$，则：

1. V中的零向量是唯一的.通常记为$\theta$：
2. V中任一向量$\alpha$的负向量是唯一的.通常记为$-\alpha$，
3. 加法消去律：若$\alpha +\gamma =\beta +\gamma$，则$\alpha =\beta$；
4. 向量方程的解：$\alpha +x=\beta$有唯一解，记为$x=\beta -\alpha$；
5. $(-k)\alpha =-k\alpha$，特别地，$(-1)\alpha =-\alpha$；
6. $k\alpha =\theta$，当且仅当$k=0$或$\alpha =\theta$。

1-2 基和维数

1-2-1 线性相关性

设${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s\in V$，若存在不全为零的数$k_1,k_2,\dots ,k_s$ 使得$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s=\theta$，则称向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$线性相关。否则，称${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$线性无关

• 相关：能表示
• 无关：不能表示

重要性质

1. 若s≥2，则${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$线性相关当且仅当存在向量 ${\alpha }_j$，使得${\alpha }_j$可由其余向量线性表示
2. 若${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$线性无关，但$\beta ,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$线性相关，则$\beta$可由${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$线性表示，而且，线性表示的方法是唯一的.
3. 若$t>s,{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_t$可由${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$线性表示，则${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_t$线性相关

若${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_t$可由${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$线性表示，且${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_t$线性无关，则t≤s

若${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_t$与${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$等价，且都线性无关，则$t=s$

等价：两向量组可相互线性表示 线性空间中的向量仅代表元素，因此向量也可以是矩阵

1-2-2 基、维数和坐标

基

定义： 若${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\in V$ 满足条件：

1. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性无关
2. 任意的 $\eta \in V$ 均可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$线性表示

则称${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 是 V 的一组基

维数

1. 若 $V$ 的某一组基中含$n$个向量，则$V$的任一组基中都含$n$个向量，称$n$是$V$的维数，记为$dimV$
2. 若$dimV=n$，则$V$中任意$n+1$个向量线性相关
3. 线性空间的基不一定存在，
   • 如：只含一个零向量的空间称为零空间，规定零子空间的维数为$0$
   • 再如：$V=F[x]$规定 $dimF[x]=\infty$

定理：若 $dimV=n$，则 V 中任意 $n$ 个线性无关的向量均构成 $V$ 的基

坐标

定义： 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 是V的一组基，$\beta \in V$，且 $\beta =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n$，则称 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 是β在基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$下的坐标，或$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$是β在基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$下的坐标（列向量）

性质：

1. 线性空间的基是有序的
2. 基相当于几何空间中的坐标系

定理： 假设，$\eta ,{\eta }_i\in V$ 在基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$下的坐标分别是$X$及$X_i,i=1,2,\dots ,s$，则

1. $\eta =\theta \iff X=\theta$；
2. $\eta =k_1{\eta }_1+k_2{\eta }_2+\cdots +k_s{\eta }_s\iff X=k_1{X}_1+k_2{X}_2+\cdots +k_s{X}_s$
3. ${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_s$线性相关$\iff X_1,X_2,\dots ,X_s$线性相关.

$X_1{X}_2{X}_3$ 的秩：

1. 若 $=3$：线性无关
2. 若 $<3$：线性相关

即其阶梯矩阵非零行的数量

1-2-3 基变换和坐标变换

形式记号

设${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s\in V$,定义形式行向量${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$。

比如，若 $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ 是β在基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$下的坐标， 则 $\beta$ 可形式地记成 $\beta =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)X$。

若 ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_t$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 线性表示， 于是，我们可以找到一个s×t矩阵A使得$({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_t)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s)A$

性质： 若 $({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_t)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s)A$， $({\gamma }_1,{\gamma }_2,\dots ,{\gamma }_p)=({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_t)B$ 则$({\gamma }_1,{\gamma }_2,\dots ,{\gamma }_p)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s)(AB)$

过渡矩阵

定义： 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$及${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$都是V的基，且 $({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)A$ 则称A是从基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$到基${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$的过渡矩阵

过渡矩阵是右乘的！且顺序是反的！例如：若$X=x({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$，$XA=x({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n)$ 则知$A$为从基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$到基${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$的过渡矩阵 但$X$在$\beta$下应为$x{A}^{-1}$

性质：

1. 过渡矩阵一定是可逆的
2. 若从基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$到基${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$的过渡矩阵是A，则从基${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$到基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$的过渡矩阵是$A^{-1}$.
3. 若从基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$到基${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$的过渡矩阵是A，从基${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$到基${\gamma }_1,{\gamma }_2,\dots ,{\gamma }_n$的过渡矩阵是B，则从基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$到基${\gamma }_1,{\gamma }_2,\dots ,{\gamma }_n$的过渡矩阵是$AB$.

坐标变换公式

设 $\eta \in V$在基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$下的坐标是X，在基${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$下的坐标是Y，而从基${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$到基${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$的过渡矩阵是$P$，==则$X=PY$，或$Y=P^{-1}X$==

1-3 子空间

1-3-1 子空间的定义

设 V 是数域 F 上的线性空间， W 是 V 的非空子集。若 W 关于 V 的运算也构成 F 上的线性空间，则称 W 是 V 的子空间.记 $W\le V$

W的运算与V中的运算应当相同

1-3-2 充分必要条件

设$W\subseteq V$，则 $W$ 是 $V$ 的子空间$\iff W$ 关于线性运算封闭

1-3-3 重要子空间

1. 设 $A\in F^{s\times n},V=\{\eta \in F^n|A\eta =\theta \}$，称 V 是齐次线性方程组 $Ax=\theta$ 的解空间.（基础解系是 V 的一组基，维数是 $n-r$。）

2. 设 $V$ 是 $F$ 上的线性空间，${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s\in V$，集合 $$W=\left\{\sum _{i=1}^s{k}_i{\alpha }_i|\forall k_i\in F\right\}$$ 称 W 是由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 生成的子空间， 称 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 是W的生成元。

   记 $W=L({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s)$ 或 $span\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s\}$

性质：

1. 若 $W=L({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s)$ ，则 $\forall k_j\in W$
2. $L({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s)=L({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_t)\iff {\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$与 ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_t$ 等价
3. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 的极大无关组是 $L({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s)$ 的基，故$dimL({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s)=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s)$

1-3-4 基扩充定理

有限维线性空间 V 中任意线性无关向量组均可扩充成 V 的基

$E_{ij}$：仅有第 i 行第 j 列为 1，其它元素为 0 的方阵

1-4 子空间的交与和

并集并不是子空间

1-4-1 交与和的定义

定义
$V_1\cap V_2=\{\eta \in V|\eta \in V_1,\eta \in V_2$
$V_1+V_2=\{\eta \in V|\exists \eta \in V_1,\eta \in V_{2}s.t.\eta ={\eta }_1+{\eta }_2\}$ 分别称为子空间的交与和

定理 $V_1\cap V_2,V_1+V_2$都是 V 的子空间.

1-4-2 维数定理

定理： 若 $V_1=L({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s),V_2=L({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_t)$
则 $V_1+V_2=L({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s,{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_t)$

维数定理： 假设$V_1,V_2\le V$，有$dim(V_1+V_2)=dim{V}_1+dim{V}_2-dim(V_1\cap V_2)$

1-4-3 直和

定义 设 $V_1,V_2\le V$，若$\forall \eta \in V_1+V_2,\exists$唯一的 ${\eta }_1\in V_1,{\eta }_2\in V_2$，使得 $\eta ={\eta }_1+{\eta }_2$， 则称 $V_1+V_2$ 是直和，记为$V_1\oplus V_2$

定理：设 $V_1,V_2\le V$，则下述条件是等价的：

1. $V_1+V_2$ 直和
2. $\theta$ 的表示方式是唯一的
3. $V_1\cap V_2=\{\theta \}$
4. $dim(V_1+V_2)=dim{V}_1+dim{V}_2$；
5. 将$V_1,V_2$的基合在一起就是$V_1+V_2$的基

多个子空间的直和： 设 $V_1,V_2,\dots ,V_s\le V$，若 $\forall \eta \in V_1+V_2+\cdots +V_s$，
$\exists$唯一的${\eta }_i\in V_i,i=1,2,\dots ,s$，使得$\eta ={\sum }_{i=1}^s{\eta }_i$，
则称 $V_1+V_2+\cdots +V_s$ 是直和，记为 $V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_s$.

定理： 设$V_1,V_2,\dots ,V_s\le V$，则下述条件是等价的：

1. $V_1+V_2+\cdots +V_s$ 直和
2. $\theta$ 的表示方式是唯一的
3. $V_j\cap {\sum }_{i\ne j}{V}_i=\{\theta \}$
4. $dim{\sum }_{i=1}^s{V}_i={\sum }_{i=1}^{s}dim{V}_i$；
5. 将$V_1,V_2,\dots ,V_s$的基合在一起就是$V_1+V_2+\cdots +V_s$的基

1-5 线性映射

1-5-1 映射的概念

定义： 设 S 和 T 是两个集合，$f$ 是一个法则，使得对 $S$ 中每个元素 $x$，
在 T 中必存在唯一的元素 y 与之对应，则称 $f$ 是 S 到 T 的映射，
记为 $$f:S\to T,f(x)=y$$ 如果$f(x)=y$，则称 y 为 x 的象，x 为 y 的原象
S在映射 $f$ 下的全体象记为 $f(S)$，称为 $f$ 的值域
集合S到自身的映射 $f:S\to S$ 称为S上的变换
集合S到自身的映射 $f:S\to S$，$x\to x$称为S上的恒等变换

定义： 设映射 $f:S\to T$

• 若 $f(S)=T$.则称 $f$ 是满射
• 若由 $f(a)=f(b)$ 必能推得 $a=b$，则称 $f$ 是单射
• 若 $f$ 既是满射又是单射，则称 $f$ 是双射

定理： $f:S\to S$ 是双射 $\iff f$是可逆映射 （即，存在映射$g:T\to S$，使得$gf=I_S$，fg=I_T）

线性映射设 V,U 是数域 F 上的线性空间，若映射$f:V\to U$满足条件：

1. $\forall \in V,k\in F,f(kx)=kf(x)$ 齐性
2. $\forall x,y\in V,f(x+y)=f(x)+f(y)$ 可加性

则称 $f$ 是从 V 到 U 的线性映射， 从 V 到 U 的线性映射全体记为 $Hom(V,U)$ V 到 V 自身的线性映射称为 V 上的线性变换

假设$f:V\to U$是线性映射.则：

1. $f(\theta )=\theta$；
2. 若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s\in V,k_1,k_2,\dots ,k_s\in F$ 则 $f({\sum }_{i=1}^s{k}_i{\alpha }_i)={\sum }_{i=1}^s{k}_{i}f({\alpha }_i)$
3. 若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s\in V$ 线性相关，则 $f({\alpha }_1),f({\alpha }_2),\dots ,f({\alpha }_s)\in U$ 线性相关
4. 若 $V=L({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s)$，则 $f$ 的值域 $$R(f)=L(f({\alpha }_1),f({\alpha }_2),\dots ,f({\alpha }_s))$$
5. $K(f)=\{x\in V|f(x)=\theta \}$是 V 的子空间，称为 $f$ 的核空间，也记作 $f^{-1}(\theta )$

线性变换的运算

假设 $f,f^{\prime }\in Hom(V,U),g\in Hom(U,W),k\in F$，定义 $kf,f+f^{\prime },gf$ 如下：

1. $kf:V\to U,(kf)(x)=kf(x)$
2. $f+f^{\prime }:V\to U,(f+f^{\prime })(x)=f(x)+f^{\prime }(x)$
3. $gf:V\to W,(gf)(x)=g(f(x))$ 容易记错！不满足交换律

容易验证，以上运算的结果仍然都是线性映射

$f$ 是线性变换

性质： 设 $f,g,h\in Hom(V,V)$。则：

1. $(fg)h=f(gh)$
2. $f(g+h)=fg+fh$
3. $(f+g)h=fh+gh$

1-5-2 基下的矩阵

设$f\in Hom(V,U)$，选定基偶： $$V:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,U:{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s$$ 若 $$(f({\alpha }_1),f({\alpha }_2),\dots ,f({\alpha }_s))=({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s)A$$ 则称 A 是 $f$ 在选定基偶下的矩阵 特别如果 $U=V$，且${\alpha }_i={\beta }_i$， $$(f({\alpha }_1),f({\alpha }_2),\dots ,f({\alpha }_s))=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s)A$$ 则称 A 是线性变换 $f$在所选基下的矩阵.

定理： 若$f\in Hom(V,U)$在基偶 $$V:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n;U:{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s$$ 下的矩阵是 $A,\eta \in V$ 在 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$的坐标是 $X$， 则 $f(n)$ 在基 ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s$ 下的坐标是 $AX$.

过渡矩阵：${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 到 基 ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s$ 的过渡矩阵是 $P$，也就是 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)P=({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s)$

定理： 设 $f\in Hom(V,U)$在选定基偶：$V$ 的一组基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 到
基 ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s$ 的过渡矩阵是 $P$，$U$ 的一组基 ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_s$ 到
基 ${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_s$ 的过渡矩阵是$Q$，
若 $f$ 在基偶 $\{a_i{\}}_1^n$ 与 $\{{\xi }_i{\}}_1^s$ 下矩阵为A，在基偶 $\{{\beta }_i{\}}_1^n$ 与 $\{{\eta }_i{\}}_1^s$ 下矩阵为 $B$，
则 $B=Q^{-1}AP$

特别是，若 $f\in Hom(V,V)$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 下的矩阵是 $A$, 则 $f$ 在新的基$({\alpha }_1^{\prime },{\alpha }_2^{\prime },\dots ,{\alpha }_n^{\prime })=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)P$ 下的矩阵 是 $B=P^{-1}AP$

可知 A 与 B 相似，也就是说同一线性变换在不同的基偶下是相似的

定理： 假设 $f,g\in Hom(V,V)$ 在 V 的基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 下的矩阵分别 是A，B，设 $k\in F$，则在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 下，

1. $kf$ 的矩阵是 $kA$
2. $f+g$ 的矩阵是 $A+B$；
3. $fg$ 的矩阵是 $AB$；
4. $f$ 可逆 $\iff$ 矩阵 $A$ 可逆，并且，$f^{-1}$ 的矩阵是 $A^{-1}$

1-5-3 值域和核

假设 $f\in Hom(V,U)$，则

• $f$ 是满射$\iff R(f)=U$。若 $dimU<\infty$，则 $R(f)=U\iff dimR(f)=dimU$
• $f$ 是单射$\iff K(f)=\{\theta \}\iff dimK(f)=0$

值域的计算

若 $f\in Hom(V,U)$ 在基偶 $V:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$，$U:{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s$ 下的矩阵是 A，即 $$(f({\alpha }_1),f({\alpha }_2),\dots ,f({\alpha }_n))=({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s)A$$ 由于 $$R(f)=L(f({\alpha }_1),f({\alpha }_2),\dots ,f({\alpha }_n))$$ $f({\alpha }_1),f({\alpha }_2),\dots ,f({\alpha }_s)$ 的极大无关组是 $R(f)$的基 特别地，$dimR(f)=r(A)$

1-5-4 核子空间的计算

若 $f\in Hom(V,U)$ 在基偶 $V:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$，$U:{\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s$ 下的矩阵是 A，$y\in V$ 在 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 的坐标是 X，则 $f(\eta )$ 在基${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s$下的坐标是 $AX$。因此， $$\eta \in K(f)\iff AX=\theta$$ 从而，若 $X_1,X_2,\dots ,X_{n-r}$ 是 $AX=\theta$ 的基础解系，${\eta }_j$ 是以 $X_j$ 为坐标的 $V$ 中的向量，则 ${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_{n-r}$ 是 $K(f)$ 的基 $$dimK(f)=n-r(A)$$

维数定理： 假设 $dimV<\infty ,f\in Hom(V,U)$，则 $$dimR(f)+dimK(f)=dimV$$

推论： 设 $dimV<\infty ,f\in Hom(V,V)$ ，则 $f$ 可逆 $\iff f$ 是单射 $\iff f$ 是满射

对无限维空间，推论不成立

1-5-5 不变子空间

设 $f\in Hom(V,V),W\le V$，若 $\forall \eta \in W$，有 $f(\eta )\in W$，则称 W 是 $f$ 的不变子空间